讲真牛客这次的直播录屏讲得挺烂的（暴论），板书烂，表达烂...

求 $1\sim x$ 的异或和

当然，求异或和本质上是求每一位的二进制值。 前置知识：

1. 和十进制一样，二进制下最左边是高位，最右边是低位；
2. 异或和计算中，偶数个 $1$ 结果为，反之为 1。

循环周期推导

接下来推导为什么异或和的循环周期为 $4$： 先从最基本的 $1xor2xor3xor4=0$ 开始，

001 (1) 010 (2) 011 (3) 100 (4)

注意到前两位的 $1$ 都是偶数，在排列组合中，两位的全排列需要 $A_2^2=4$ 次完成，在这个周期内后面两位的异或结果为 $0$，对后续周期没有影响。 再往下一个周期：

0100 0101 (1) 0110 (2) 0111 (3) 1000 (4)

将上个周期附加在下个周期的开头，由于前两位都是 $0$，所以对异或结果没有影响。 也就是说，在 $T=4$ 的情况下，每 4 次前 $n-1$ 位的 1 的个数为偶数，则此时异或和等于该周期的最后一个数，即：

$$(x-3)xor(x-2)xor(x-1)xorx=x$$

由右端点推出异或和

根据上面的规律，可以继续推导最后一个周期中的四个数与最终异或和的关系：

1. 显然结果为 1
2. $x+1$，第一位结果为 1，等价于当前数再加 1
3. $0$，此时各位 $1$ 都是偶数个
4. 在 (3) 的情况下多写了一位，最终异或和就是当前数本身。

求 $l\sim r$ 的异或和

已经知道异或和的值反映的是当前位上 $1$ 的奇偶个数，又知道以下规律：

1. 奇+奇=偶
2. 奇+偶=奇
3. 偶+偶=偶

也就是 $[1,l-1{]}_1+[l,r{]}_1=[1,r{]}_1$，根据已知规律可求的 $[1,l-1],[1,r]$ 即可唯一对应到 $[l,r]$ 的奇偶数，进而求出该位的异或和值。 不难发现，令奇数为 $1$，偶数为 $0$，$[l,r{]}_1=[1,l-1{]}_{1}xor[1,r{]}_1$。